Malika Aboufatima et Mohamed Houimdi

Abstract

     Soient H un espace de Hilbert séparable complexe de dimension infinie et (e_n) {n > 0} une base orthonormale de H. Soit A le shift à poids défini par: Ae_n=α_ne_{n+1} où (α_n) _{n > 0} est une suite bornée de nombres complexes. Alors d'apres [1] A est compact si et seulement si \lim\limits_{n ----> ∞}\α_n = 0 . De plus, A  Î {\Cal C}_p si et seulement si ∑\limits_{{n > 0}}|α_n|^p < ∞. Dans cet article on considère l'opérateur A défini sur H^∞ par:   A.(x₀,x₁,x₂, ... ) = (0,A₀x₀,A₁x₁, ... ) ,
où H^∞ est la somme directe hilbertienne d'une infinité dénombrable de copies de H et où (A_n)_{n > 0} est une suite d'opérateurs linéaires bornés sur H. On va montrer d'une part que A compact si et seulement si pour tout n , A_n est compact et \lim\limits_{n ----> ∞}| A_n|=0.
D'autre part, AÎ{\Cal C}_p si et seulement si pour tout n > 0 A_nÎ{\Cal C}_p et  \sum\limits_{{n > 0}}||A_n||_p^p < ∞, où | . |_p est la {\Cal C}_p norme